針對人們對MWI普遍存在的誤解,近來一些科學家也試圖為其正名,澄清這種稀奇古怪的「宇宙分裂」並非MWI和埃弗萊特的本意(如Tegmark1998),我們在這裡也不妨稍微講一講。當然要準確地描述它需要用到非常複雜的數學工具和數學表達,我們的史話還是以史為本,在理論上儘量淺顯一點。這裡只是和諸位進行一點最膚淺的探討,用到的數學保證不超過中學水準,希望各位看官也不要望而卻步。

 

首先我們要談談所謂「相空間」的概念。每個讀過中學數學的人應該都建立過二維的笛卡兒平面:畫一條x軸和一條與其垂直的y軸,並加上箭頭和刻度。在這樣一個平面系統裡,每一個點都可以用一個包含兩個變數的座標(x,y)來表示,例如(1,2),或者(4.3,5.4),這兩個數字分別表示該點在x軸和y軸上的投影。當然,並不一定要使用直角坐標系統,也可以用極座標或者其他坐標系統來描述一個點,但不管怎樣,對於2維平面來說,用兩個數字就可以唯一地指明一個點了。如果要描述三維空間中的一個點,那麼我們的座標裡就要有3個數字,比如(1,2,3),這3個數字分別代表該點在3個互相垂直的維度方向的投影。

 

讓我們擴展一下思維:假如有一個四維空間中的點,我們又應該如何去描述它呢?顯然我們要使用含有4個變數的座標,比如(1,2,3,4),如果我們用的是直角坐標系統,那麼這4個數位便代表該點在4個互相垂直的維度方向的投影,推廣到n維,情況也是一樣。諸位大可不必費神在腦海中努力構想4維或者11維空間是如何在4個乃至11個方向上都互相垂直的,事實上這只是我們在數學上構造的一個假想系統而已。我們所關心的是:n維空間中的一個點可以用n個變數來唯一描述,而反過來,n個變數也可以用一個n維空間中的點來涵蓋。

 

現在讓我們回到物理世界,我們如何去描述一個普通的粒子呢?在每一個時刻t,它應該具有一個確定的位置座標(q1,q2,q3),還具有一個確定的動量p。動量也就是速度乘以品質,是一個向量,在每個維度方向都有分量,所以要描述動量p還得用3個數字:p1,p2和p3,分別表示它在3個方向上的速度。總而言之,要完全描述一個物理質點在t時刻的狀態,我們一共要用到6個變數。而我們在前面已經看到了,這6個變數可以用6維空間中的一個點來概括,所以用6維空間中的一個點,我們可以描述1個普通物理粒子的經典行為。我們這個存心構造出來的高維空間就是系統的相空間。

 

假如一個系統由兩個粒子組成,那麼在每個時刻t這個系統則必須由12個變數來描述了。但同樣,我們可以用12維空間中的一個點來代替它。對於一些宏觀物體,比如一隻貓,它所包含的粒子可就太多了,假設有n個吧,不過這不是一個本質問題,我們仍然可以用一個6n維相空間中的質點來描述它。這樣一來,一隻貓在任意一段時期內的活動其實都可以等價為6n空間中一個點的運動(假定組成貓的粒子數目不變)。我們這樣做並不是吃飽了飯太閑的緣故,而是因為在數學上,描述一個點的運動,哪怕是6n維空間中的一個點,也要比描述普通空間中的一隻貓來得方便。在經典物理中,對於這樣一個代表了整個系統的相空間中的點,我們可以用所謂的哈密頓方程去描述,並得出許多有益的結論。

 

在我們史話的前面已經提到過,無論是海森堡的矩陣力學還是薛定諤的波動力學,都是從哈密頓的方程改造而來,所以它們後來被證明互相等價也是不足為奇。現在,在量子理論中,我們也可以使用與相空間類似的手法來描述一個系統的狀態,只不過把經典的相空間改造成複的希爾伯特向量空間罷了。具體的細節讀者們可以不用理會,只要把握其中的精髓:一個複雜系統的狀態可以看成某種高維空間中的一個點或者一個向量。比如一隻活貓,它就對應於某個希爾伯特空間中的一個態向量,如果採用狄拉克引入的符號,我們可以把它用一個帶尖角的括弧來表示,寫成:|活貓>。死貓可以類似地寫成:|死貓>。

 

說了那麼多,這和量子論或者MWI有什麼關係呢?

 

讓我們回頭來看一個量子過程,比如那個經典的雙縫困境吧。正如我們已經反覆提到的那樣,如果我們不去觀測電子究竟通過了哪條縫,它就應該同時通過兩條縫而產生干涉。此時它的波函數是一個線性疊加,且嚴格按照薛定諤方程演化。也就是說,|ψ>可以表示為:

 

a|通過左縫>+b|通過右縫>

 

我們還記得波函數強度的平方就是概率,為了簡化起見我們假定粒子通過左右縫的概率是相等的,而且沒有別的可能。如此一來則a^2+b^2=1,得出a和b均為根號2分之1。不過這些只是表明概率的係數而已,我們也不去理會,關鍵是系統在未經觀察時,必須是一個「|左>+|右>」的疊加!

 

如果我們不去干擾這個系統,則其按薛定諤波動方程嚴格地發展。為了表述方便,我們按照彭羅斯的話,把這稱為「U過程」,它是一個確定的、嚴格的、經典的、可逆(時間對稱)的過程。但值得一提的是,薛定諤方程是「線性」的,也就是說,只要|左>和|右>都是可能的解,則a|左>+b|右>也必定滿足方程!不管U過程如何發展,系統始終會保持在線性疊加的狀態。

 

只有當我們去觀測電子的實際行為時,電子才被迫表現為一個粒子,選擇某一條狹縫穿過。拿哥本哈根派的話來說,電子的波函數「坍縮」了,最終我們只剩下|左>或者|右>中的一個態獨領風騷。這個過程像是一個奇蹟,它完全按照概率隨機地發生,也不再可逆,正如你不能讓實際已經發生的事情回到許多概率的不確定疊加中去。還是按照彭羅斯的稱呼,我們把這叫做「R過程」,其實就是所謂的坍縮。如何解釋R過程的發生,這就是困擾我們的難題。哥本哈根派認為「觀測者」引發了這一過程,個別極端的則扯上「意識」,那麼,MWI又有何高見呢?

 

它的說法可能讓你大吃一驚:根本就沒有所謂的「坍縮」,R過程實際上從未發生過!從開天闢地以來,在任何時刻,任何孤立系統的波函數都嚴格地按照薛定諤方程以U過程演化!如果系統處在疊加態,它必定永遠按照疊加態演化!

 

可是,等等,這樣說固然意氣風發,暢快淋漓,但它沒有解答我們的基本困惑啊!如果疊加態是不可避免的,為什麼我們在現實中從未觀察到同時穿過雙縫的電子,或者又死又活的貓呢?只有當我們不去觀測,它們才似乎處於疊加,MWI如何解釋我們的觀測難題呢?

 

讓我們來小心地看看埃弗萊特的假定:「任何孤立系統都必須嚴格地按照薛定諤方程演化」。所謂孤立系統指的是與外界完全隔絕的系統,既沒有能量也沒有物質交流,這是個理想狀態,在現實中很難做到,所以幾乎是不可能的。只有一樣東西例外--我們的宇宙本身!因為宇宙本身包含了一切,所以也就無所謂「外界」,把宇宙定義為一個孤立系統似乎是沒有什麼大問題的。宇宙包含了n個粒子,n即便不是無窮,也是非常非常大的,但這不是本質問題,我們仍然可以把整個宇宙的狀態用一個態向量來表示,描述宇宙波函數的演化。

 

MWI的關鍵在於:雖然宇宙只有一個波函數,但這個極為複雜的波函數卻包含了許許多多互不干涉的「子世界」。宇宙的整體態向量實際上是許許多多子向量的疊加和,每一個子向量都是在某個「子世界」中的投影,代表了薛定諤方程一個可能的解,但這些「子世界」卻都是互相垂直正交,彼此不能干涉的!

 

為了各位容易理解,我們假想一種沒有維度的「質點人」,它本身是一個小點,而且只能在一個維度上做直線運動。這樣一來,它所生活的整個「世界」,便是一條特定的直線,對於這個質點人來說,它只能「感覺」到這條直線上的東西,而對別的一無所知。現在我們回到最簡單的二維平面。假設有一個向量(1,2),我們容易看出它在x軸上投影為1,y軸上投影為2。如果有兩個「質點人」A和B,A生活在x軸上,B生活在y軸上,那麼對於A君來說,他對我們的向量的所有「感覺」就是其在x軸上的那段長度為1的投影,而B君則感覺到其在y軸上的長度為2的投影。因為A和B生活在不同的兩個「世界」裡,所以他們的感覺是不一樣的!但事實上,「真實的」向量只有一個,它是A和B所感覺到的「疊加」!

 

我們的宇宙也是如此。「真實的,完全的」宇宙態向量存在於一個非常高維的希爾伯特空間中,但這個高維的空間卻由許許多多低維的「世界」所構成(正如我們的三維空間可以看成由許多二維平面構成一樣),每個「世界」都只能感受到那個「真實」的向量在其中的投影。因此在每個「世界」看來,宇宙都是不同的。但實際上,宇宙波函數是按照薛定諤方程演化的疊加態。

 

但還剩下一個問題:如果說每一種量子態代表一個「世界」,為什麼我們感覺不到別的「世界」呢?而相當稀奇的是,未經觀測的電子卻似乎有特異功能,可以感覺來自「別的世界」的資訊。比如不受觀察的電子必定同時感受到了「左縫世界」和「右縫世界」的資訊,不然如何產生干涉呢?這其實還是老問題:為什麼我們一「觀察」,量子層次上的疊加態就土崩瓦解,絕不會帶到宏觀世界中來?

 

非常妙的解釋是:這牽涉到我們所描述「世界」的維數,或者說自由度的數量。在上面的例子中,我們舉了A和B分別生活在x軸和y軸上的例子。因為x軸和y軸互相垂直,所以A世界在B世界上根本沒有投影,也就是說,B完全無法感覺到A所生活的那個世界究竟是怎樣的。但是,這是一個非常極端的例子,事實上如果我們在二維平面上隨便取兩條直線作為「兩個世界」,則它們很有可能並不互相垂直。態向量在這兩個世界上的投影在很大程度上仍然是彼此「相干」(coherent)的,B仍然能夠在很大程度上感受到A世界的觀測結果,反之亦然(參見附圖)。

 

但是,假如不是2維,而是在很多維的空間中,我們隨便畫兩條直線,其互相垂直的程度就很可能要比2維中的來得大。因為它比2維有著多得多的維數,亦即自由度,直線可以尋求在多個方向上的發展而互不干擾。如果有一個非常高維的空間,比如說1000億維空間,那麼我們隨便畫兩條直線或者平面,它們就幾乎必定是基本垂直了。如果各位不相信,不妨自己動手證明一下。

 

在雙縫實驗中,假如我們不考慮測量儀器或者我們自己的態向量,不考慮任何環境的影響,單單考慮電子本身的態向量的話,那麼所涉及的變數是相對較少的,也就是說,單純描述電子行為的「世界」是一個較低維的空間。我們在前面已經討論過了,在雙縫實驗中,必定存在著兩個「世界」:左世界和右世界。宇宙態向量分別在這兩個世界上投影為|通過左縫>和|通過右縫>兩個量子態。但因為這兩個世界維數較低,所以它們互相並不是完全垂直的,每個世界都還能清晰地「感覺」到另外一個世界的投影。這兩個世界仍然彼此「相干」著!因此電子能夠同時感覺到雙縫而自我干涉。

 

請各位密切注意,「左世界」和「右世界」只是單純地描述了電子的行為,並不包括任何別的東西在內!當我們通過儀器而觀測到電子究竟是通過了左還是右之後,對於這一事件的描述就不再是「左世界」等可以勝任的了。事實上,為了描述「我們發現了電子在左」這個態,我們必須動用一個更大的「世界」,叫做「我們感知到電子在左」世界,或者簡稱「知左」世界。這個世界包括了電子、儀器和我們本身在內,對它的描述就要用到比單個電子多得多的變數(光我們本身就有n個粒子組成)。「知左」世界的維度,要比「左」世界高出不知凡幾,現在「知左」和「知右」世界,就很難不互相垂直了,這個戲劇性的變化在於擁有巨大變數數目的環境的引入:當電子層次上的量子態疊加被儀器或者任何宏觀事物放大,我們所用於描述該態的「世界」的維數也就迅速增加,這直接導致了原本相干的兩個投影變成基本垂直而互不干涉。這個過程叫做「離析」或者「退相干」(decoherence),量子疊加態在宏觀層面上的瓦解,正是退相干的直接後果。

 

用前面所引的符號來表示可能會直觀一些,在我們尚未進行觀測時,唯一的不確定是電子本身,只有它是兩個態的疊加。此時宇宙的態可以表示為:

 

(a|通過左縫>+b|通過右縫>)×|未進行觀測的我們>×|宇宙的其他部分>

 

×號表示「並且」(AND),這裡無非是說,宇宙的態由電子態,我們的態和其他部分的態共同構成。在我們尚未進行觀測時,只有電子態處在疊加中,而正如我們討論過的,僅涉及電子時,這兩個態仍然可能在另一個世界裡造成投影而互相感覺。可是,一旦我們進行了觀測,宇宙態就變成:

 

(a|通過左縫>|觀測到左的我們>+b|通過右縫>|觀測到右的我們>)×|宇宙的其他部分>

 

現在疊加的是兩個更大的系統態:「|通過左縫>|觀測到左的我們>」和「|通過右縫>|觀測到右的我們>」,它們可以簡並成|我們發現電子在左>和|我們發現電子在右>,分別存在於「知左」和「知右」世界。觀測者的「分裂」,也就在這一刻因為退相干而發生了。因為維數龐大,「知左」和「知右」世界幾乎不互相干涉,因此在這個層次上,我們感覺不到量子態的疊加。

 

但是,作為宇宙態向量本身來說,它始終按照薛定諤方程演化。只有一個「宇宙」,但它包含了多個「世界」。所謂的「坍縮」,只不過是投影在的某個世界裡的「我們」因為身在此山中而產生的幼稚想法罷了。最後要提醒大家的是,我們這裡所說的空間、維度,都是指構造的希爾伯特空間,而非真實時空。事實上,所有的「世界」都發生在同一個時空中(而不是在另一些維度中),只不過因為互相正交而無法彼此交流。你一定會覺得很不可思議,但量子論早就已經不止一次地帶給我們無比的驚訝了,不是嗎?

 

 

上帝擲骰子嗎-量子物理史話(曹天元)

 

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