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玻姆的隱變數理論是德布羅意導波的一個增強版，只不過他把所謂的「導波」換成了「量子勢」(quantum potential)的概念。在他的描述中，電子或者光子始終是一個實實在在的粒子，不論我們是否觀察它，它都具有確定的位置和動量。但是，一個電子除了具有通常的一些性質，比如電磁勢之外，還具有所謂的「量子勢」。這其實就是一種類似波動的東西，它按照薛定諤方程發展，在電子的周圍擴散開去。但是，量子勢所產生的效應和它的強度無關，而只和它的形狀有關，這使它可以一直延伸到宇宙的盡頭，而不發生衰減。

在玻姆理論裡，我們必須把電子想像成這樣一種東西：它本質上是一個經典的粒子，但以它為中心發散出一種勢場，這種勢彌漫在整個宇宙中，使它每時每刻都對周圍的環境瞭若指掌。當一個電子向一個雙縫進發時，它的量子勢會在它到達之前便感應到雙縫的存在，從而指導它按照標準的干涉模式行動。如果我們試圖關閉一條狹縫，無處不在的量子勢便會感應到這一變化，從而引導電子改變它的行為模式。特別地，如果你試圖去測量一個電子的具體位置的話，你的測量儀器將首先與它的量子勢發生作用，這將使電子本身發生微妙的變化，這種變化是不可預測的，因為主宰它們的是一些「隱變數」，你無法直接探測到它們。

玻姆用的數學手法十分高超，他的體系的確基本做到了傳統的量子力學所能做到的一切！但是，讓我們感到不舒服的是，這樣一個隱變數理論始終似乎顯得有些多餘。量子力學從世紀初一路走來，諸位物理大師為它打造了金光閃閃的基本數學形式。它是如此漂亮而簡潔，在實際中又是如此管用，以致於我們覺得除非絕對必要，似乎沒有理由給它強迫加上笨重而醜陋的附加假設。玻姆的隱函數理論複雜繁瑣又難以服眾，他假設一個電子具有確定的軌跡，卻又規定因為隱變數的擾動關係，我們絕對觀察不到這樣的軌跡！這無疑違反了奧卡姆剃刀原則：存在卻絕對觀測不到，這和不存在又有何分別呢？難道，我們為了這個世界的實在性，就非要放棄物理原理的優美、明晰和簡潔嗎？這連愛因斯坦本人都會反對，他對科學美有著比任何人都要深的嚮往和眷戀。事實上，愛因斯坦，甚至德布羅意生前都沒有對玻姆的理論表示過積極的認同。

更不可原諒的是，玻姆在不惜一切代價地地恢復了世界的實在性和決定性之後，卻放棄了另一樣同等重要的東西：定域性(Locality)。定域性指的是，在某段時間裡，所有的因果關係都必須維持在一個特定的區域內，而不能超越時空來瞬間地作用和傳播。簡單來說，就是指不能有超距作用的因果關係，任何資訊都必須以光速這個上限而發送，這也就是相對論的精神！但是在玻姆那裡，他的量子勢可以瞬間把它的觸角伸到宇宙的盡頭，一旦在某地發生什麼，其資訊立刻便傳達到每一個電子耳邊。如果玻姆的理論成立的話，超光速的通訊在宇宙中簡直就是無處不在，愛因斯坦不會容忍這一切的！

但是，玻姆他的確打破了因為馮諾伊曼的錯誤而造成的堅冰，至少給隱變數從荊棘中艱難地開闢出了一條道路。不管怎麼樣，隱變數理論在原則上畢竟是可能的，那麼，我們是不是至少還保有一線希望，可以發展出一個完美的隱變數理論，使得我們在將來的某一天得以同時擁有一個確定、實在，而又擁有定域性的溫暖世界呢？這樣一個世界，不就是愛因斯坦的終極夢想嗎？

1928年7月28日，距離量子論最精采的華章--不確定性原理的譜寫已經過去一年有餘。在這一天，約翰‧斯圖爾特‧貝爾(John Stewart Bell)出生在北愛爾蘭的首府貝爾法斯特。小貝爾在孩提時代就表現出了過人的聰明才智，他在11歲上向母親立志，要成為一名科學家。16歲時貝爾因為尚不夠年齡入讀大學，先到貝爾法斯特女王大學的實驗室當了一年的實習工，然而他的才華已經深深感染了那裡的教授和員工。一年後他順理成章地進入女王大學攻讀物理，雖然主修的是實驗物理，但他同時也對理論物理表現出非凡的興趣。特別是方興未艾的量子論，它展現出的深刻的哲學內涵令貝爾相當沉迷。

貝爾在大學的時候，量子論大廈主體部分的建設已經塵埃落定，基本的理論框架已經由海森堡和薛定諤所打造完畢，而玻爾已經為它作出了哲學上最意味深長的詮釋。20世紀物理史上最激動人心的那些年代已經逝去，沒能參予其間當然是一件遺憾的事，但也許正是因為這樣，人們得以稍稍冷靜下來，不致於為了那偉大的事業而過於熱血沸騰，身不由己地便拜倒在尼爾斯‧玻爾那幾乎不可抗拒的個人魔力之下。貝爾不無吃驚地發現，自己並不同意老師和教科書上對於量子論的正統解釋。海森堡的不確定性原理--它聽上去是如此具有主觀的味道，實在不討人喜歡。貝爾想要的是一個確定的，客觀的物理理論，他把自己描述為一個愛因斯坦的忠實追隨者。

畢業以後，貝爾先是進入英國原子能研究所(AERE)工作，後來轉去了歐洲粒子中心(CERN)。他的主要工作集中在加速器和粒子物理領域方面，但他仍然保持著對量子物理的濃厚興趣，在業餘時間裡密切關注著它的發展。1952年玻姆理論問世，這使貝爾感到相當興奮。他為隱變數理論的想法所著迷，認為它恢復了實在論和決定論，無疑邁出了通向那個終極夢想的第一步。這個終極夢想，也就是我們一直提到的，使世界重新回到客觀獨立，優雅確定，嚴格遵守因果關係的軌道上來。貝爾覺得，隱變數理論正是愛因斯坦所要求的東西，可以完成對量子力學的完備化。然而這或許是貝爾的一廂情願，因為極為諷刺的是，甚至愛因斯坦本人都不認同玻姆！

不管怎麼樣，貝爾準備仔細地考察一下，對於德布羅意和玻姆的想法是否能夠有實際的反駁，也就是說，是否真如他們所宣稱的那樣，對於所有的量子現象我們都可以拋棄不確定性，而改用某種實在論來描述。1963年，貝爾在日內瓦遇到了約克教授，兩人對此進行了深入的討論，貝爾逐漸形成了他的想法。假如我們的宇宙真的是如愛因斯坦所夢想的那樣，它應當具有怎樣的性質呢？要探討這一點，我們必須重拾起愛因斯坦昔日與玻爾論戰時所提到的一個思想實驗--EPR佯謬。

要是你已經忘記了EPR是個什麼東西，可以先複習一下我們史話的8-4。我們所描述的實際上是經過玻姆簡化過的EPR版本，不過它們在本質上是一樣的。現在讓我們重做EPR實驗：一個母粒子分裂成向相反方向飛開去的兩個小粒子A和B，它們理論上具有相反的自旋方向，但在沒有觀察之前，照量子派的講法，它們的自旋是處在不確定的疊加態中的，而愛因斯坦則堅持，從分離的那一刻起，A和B的狀態就都是確定了的。

我們用一個向量來表示自旋方向，現在甲乙兩人站在遙遠的天際兩端等候著A和B的分別到來(比方說，甲在人馬座的方向，乙在雙子座的方向)。在某個按照宇宙標準時間所約好了的關鍵時刻(比方說，宇宙曆767年8月12日9點整，聽起來怎麼像銀英傳，呵呵)，兩人同時對A和B的自旋在同一個方向上作出測量。那麼，正如我們已經討論過的，因為要保持總體上的守恆，這兩個自旋必定相反，不論在哪個方向上都是如此。假如甲在某方向上測量到A的自旋為正(＋)，那麼同時乙在這個方向上得到的B自旋的測量結果必定為負(-)！

換句話說，A和B--不論它們相隔多麼遙遠--看起來似乎總是如同約好了那樣，當A是＋的時候B必定是-，它們的合作率是100%！在統計學上，拿稍微正式一點的術語來說，(A＋，B-)的相關性(correlation)是100%，也就是1。我們需要熟悉一下相關性這個概念，它是表示合作程度的一個變數，假如A和B每次都合作，比如A是＋時B總是-，那麼相關性就達到最大值1，反過來，假如B每次都不和A合作，每當A是＋是B偏偏也非要是＋，那麼(A＋，B-)的相關率就達到最小值-1。當然這時候從另一個角度看，(A＋，B＋)的相關就是1了。要是B不和A合作也不有意對抗，它的取值和A毫無關係，顯得完全隨機，那麼B就和A並不相關，相關性是0。

在EPR裡，不管兩個粒子的狀態在觀測前究竟確不確定，最後的結果是肯定的：在同一個方向上要麼是(A＋，B-)，要麼是(A-，B＋)，相關性是1。但是，這是在同一方向上，假設在不同方向上呢？假設甲沿著x軸方向測量A的自旋，乙沿著y軸方向測量B，其結果的相關率會是如何呢？冥冥中一絲第六感告訴我們，決定命運的時刻就要到來了。

實際上我們生活在一個3維空間，可以在3個方向上進行觀測，我們把這3個方向假設為x，y，z。它們並不一定需要互相垂直，任意地取便是。每個粒子的自旋在一個特定的方向無非是正負兩種可能，那麼在3個方向上無非總共是8種可能(把每個方向想像成一根爻，那麼組合結果無非是8個卦)。

x y z

+++

++-

+-+

+--

-++

-+-

--+

---

對於A來說有8種可能，那麼對於A和B總體來說呢？顯然也是8種可能，因為我們一旦觀測了A，B也就確定了。如果A是(＋，＋，-)，那麼因為要守恆，B一定是(-，-，＋)。現在讓我們假設量子論是錯誤的，A和B的觀測結果在分離時便一早註定，我們無法預測，只不過是不清楚其中的隱變數究竟是多少的緣故。不過沒關係，我們假設這個隱變數是H，它可以取值1-8，分別對應於一種觀測的可能性。再讓我們假設，對應於每一種可能性，其出現的概率分別是N1，N2...一直到N8。現在我們就有了一個可能的觀測結果的總表：

Ax Ay Az Bx By Bz 出現概率

+++---N1

++---+N2

+-+-+-N3

+---++N4

-+++--N5

-+-+-+N6

--+++-N7

---+++N8

上面的每一行都表示一種可能出現的結果，比如第一行就表示甲觀察到A在x，y，z三個方向上的自旋都為＋，而乙觀察到B在3個方向上的自旋相應地均為-，這種結果出現的可能性是N1。因為觀測結果8者必居其一，所以N1＋N2＋｜＋N8＝1，這個各位都可以理解吧？

現在讓我們運用一點小學數學的水準，來做一做相關性的練習。我們暫時只察看x方向，在這個方向上，(Ax＋，Bx-)的相關性是多少呢？我們需要這樣做：當一個記錄符合兩種情況之一：當在x方向上A為＋而B同時為-，或者A不為＋而B也同時不為-，如果這樣，它便符合我們的要求，標誌著對(Ax＋，Bx-)的合作態度，於是我們就加上相應的概率。相反，如果在x上A為＋而B也同時為＋，或者A為-而B也為-，這是對(Ax＋，Bx-)組合的一種破壞和抵觸，我們必須減去相應的概率。

從上表可以看出，前4種可能都是Ax為＋而Bx同時為-，後4種可能都是Ax不為＋而Bx也不為-，所以8行都符合我們的條件，全是正號。我們的結果是N1＋N2＋｜＋N8＝1！所以(Ax＋，Bx-)的相關是1，這毫不奇怪，我們的表本來就是以此為前提編出來的。如果我們要計算(Ax＋，Bx＋)的相關，那麼8行就全不符合條件，全是負號，我們的結果是-N1-N2-｜-N8＝-1。

接下來我們要走得遠一點，A在x方向上為＋，而B在y方向上為＋，這兩個觀測結果的相關性是多少呢？現在是兩個不同的方向，不過計算原則是一樣的：要是一個記錄符合Ax為＋以及By為＋，或者Ax不為＋以及By也不為＋時，我們就加上相應的概率，反之就減去。讓我們仔細地考察上表，最後得到的結果應該是這樣的，用Pxy來表示：

Pxy＝-N1-N2＋N3＋N4＋N5＋N6-N7-N8

嗯，蠻容易的嘛，我們再來算算Pxz，也就是Ax為＋同時Bz為＋的相關：

Pxz＝-N1＋N2-N3＋N4＋N5-N6＋N7-N8

再來，這次是Pzy，也就是Az為＋且By為＋：

Pzy＝-N1＋N2＋N3-N4-N5＋N6＋N7-N8

好了，差不多了，現在我們把玩一下我們的計算結果，把Pxz減去Pzy再取絕對值：

|Pxz-Pzy|＝|-2N3＋2N4＋2N5-2N6|＝2|N3＋N4-N5-N6|

這裡需要各位努力一下，超越小學數學的水準，回憶一下初中的知識。關於絕對值，我們有關係式|x-y|＜|x|＋|y|，所以套用到上面的式子裡，我們有：

|Pxz-Pzy|＝2|N3＋N4-N5-N6|＜2(|N3＋N4|＋|N5＋N6|)

因為所有的概率都不為負數，所以2(|N3＋N4|＋|N5＋N6|)＝2(N3＋N4＋N5＋N6)。最後，我們還記得N1＋N2＋...+N8＝1，所以我們可以從上式中湊一個1出來：

2(N3＋N4＋N5＋N6)＝1＋(-N1-N2＋N3＋N4＋N5＋N6-N7-N8)

看看我們前面的計算，後面括弧裡的一大串不正是Pxy嗎？所以我們得到最終的結果：

|Pxz-Pzy|＜1＋Pxy

恭喜你，你已經證明了這個宇宙中最為神秘和深刻的定理之一。現在放在你眼前的，就是名垂千古的「貝爾不等式」。它被人稱為「科學中最深刻的發現」，它即將對我們這個宇宙的終極命運作出最後的判決。

(我們的證明當然是簡化了的，隱變數不一定是離散的，而可以定義為區間λ上的一個連續函數。即使如此，只要稍懂一點積分知識也不難推出貝爾不等式來，各位有興趣的可以動手一試。)

上帝擲骰子嗎-量子物理史話(曹天元)

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