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1912年8月1日，玻爾和瑪格麗特在離哥本哈根不遠的一個小鎮上結婚，隨後他們前往英國展開蜜月。當然，有一個人是萬萬不能忘記拜訪的，那就是玻爾家最好的朋友之一，盧瑟福教授。

雖然是在蜜月期，原子和量子的圖景仍然沒有從玻爾的腦海中消失。他和盧瑟福就此再一次認真地交換了看法，並加深了自己的信念。回到丹麥後，他便以百分之二百的熱情投入到這一工作中去。揭開原子內部的奧秘，這一夢想具有太大的誘惑力，令玻爾完全無法抗拒。

為了能使大家跟得上我們史話的步伐，我們還是再次描述一下當時玻爾面臨的處境。盧瑟福的實驗展示了一個全新的原子面貌：有一個緻密的核心處在原子的中央，而電子則繞著這個中心運行，像是圍繞著太陽的行星。然而，這個模型面臨著嚴重的理論困難，因為經典電磁理論預言，這樣的體系將會無可避免地釋放出輻射能量，並最終導致體系的崩潰。換句話說，盧瑟福的原子是不可能穩定存在超過1秒鐘的。

玻爾面臨著選擇，要麼放棄盧瑟福模型，要麼放棄麥克斯韋和他的偉大理論。玻爾勇氣十足地選擇了放棄後者。他以一種深刻的洞察力預見到，在原子這樣小的層次上，經典理論將不再成立，新的革命性思想必須被引入，這個思想就是普朗克的量子以及他的h常數。

應當說這是一個相當困難的任務。如何推翻麥氏理論還在其次，關鍵是新理論要能夠完美地解釋原子的一切行為。玻爾在哥本哈根埋頭苦幹的那個年頭，門捷列夫的元素週期律已經被發現了很久，化學鍵理論也已經被牢固地建立。種種跡象都表明在原子內部，有一種潛在的規律支配著它們的行為，並形成某種特定的模式。原子世界像一座蘊藏了無窮財寶的金字塔，但如何找到進入其內部的通道，卻是一個讓人撓頭不已的難題。

然而，像當年的貝爾佐尼一樣，玻爾也有著一個探險家所具備的最寶貴的素質：洞察力和直覺，這使得他能夠抓住那個不起眼，但卻是唯一的，稍縱即逝的線索，從而打開那扇通往全新世界的大門。1913年初，年輕的丹麥人漢森(Hans Marius Hansen)請教玻爾，在他那量子化的原子模型裡如何解釋原子的光譜線問題。對於這個問題，玻爾之前並沒有太多地考慮過，原子光譜對他來說是陌生和複雜的，成千條譜線和種種奇怪的效應在他看來太雜亂無章，似乎不能從中得出什麼有用的資訊。然而漢森告訴玻爾，這裡面其實是有規律的，比如巴爾末公式就是。他敦促玻爾關心一下巴爾末的工作。

突然間，就像伊翁(Ion)發現了藏在箱子裡的繪著戈耳工的麻布，一切都豁然開朗。山重水複疑無路，柳暗花明又一村。在誰也沒有想到的地方，量子得到了決定性的突破。1954年，玻爾回憶道：當我一看見巴爾末的公式，一切就都清楚不過了。

要從頭回顧光譜學的發展，又得從偉大的本生和基爾霍夫說起，而那勢必又是一篇規模宏大的文字。鑒於篇幅，我們只需要簡單地瞭解一下這方面的背景知識，因為本史話原來也沒有打算把方方面面都事無巨細地描述完全。概括來說，當時的人們已經知道，任何元素在被加熱時都會釋放出含有特定波長的光線，比如我們從中學的焰色實驗中知道，鈉鹽放射出明亮的黃光，鉀鹽則呈紫色，鋰是紅色，銅是綠色...等等。將這些光線通過分光鏡投射到螢幕上，便得到光譜線。各種元素在光譜裡一覽無餘：鈉總是表現為一對黃線，鋰產生一條明亮的紅線和一條較暗的橙線，鉀則是一條紫線。總而言之，任何元素都產生特定的唯一譜線。

但是，這些譜線呈現什麼規律以及為什麼會有這些規律，卻是一個大難題。拿氫原子的譜線來說吧，這是最簡單的原子譜線了。它就呈現為一組線段，每一條線都代表了一個特定的波長。比如在可見光區間內，氫原子的光譜線依次為：656，484，434，410，397，388，383，380...納米。這些資料無疑不是雜亂無章的，1885年，瑞士的一位數學教師巴爾末(Johann Balmer)發現了其中的規律，並總結了一個公式來表示這些波長之間的關係，這就是著名的巴爾末公式。將它的原始形式稍微變換一下，用波長的倒數來表示，則顯得更加簡單明瞭：

ν＝R(1/2^2-1/n^2)

其中的R是一個常數，稱為里德伯(Rydberg)常數，n是大於2的正整數(3，4，5...等等)。

在很長一段時間裡，這是一個十分有用的經驗公式。但沒有人可以說明，這個公式背後的意義是什麼，以及如何從基本理論將它推導出來。但是在玻爾眼裡，這無疑是一個晴天霹靂，它像一個火花，瞬間點燃了玻爾的靈感，所有的疑惑在那一刻變得順理成章了，玻爾知道，隱藏在原子裡的秘密，終於向他嫣然展開笑顏。

我們來看一下巴耳末公式，這裡面用到了一個變數n，那是大於2的任何正整數。n可以等於3，可以等於4，但不能等於3.5，這無疑是一種量子化的表述。玻爾深呼了一口氣，他的大腦在急速地運轉，原子只能放射出波長符合某種量子規律的輻射，這說明了什麼呢？我們回憶一下從普朗克引出的那個經典量子公式：E =hν。頻率(波長)是能量的量度，原子只釋放特定波長的輻射，說明在原子內部，它只能以特定的量吸收或發射能量。而原子怎麼會吸收或者釋放能量的呢？這在當時已經有了一定的認識，比如斯塔克(J.Stark)就提出，光譜的譜線是由電子在不同勢能的位置之間移動而放射出來的，英國人尼科爾森(J.W.Nicholson)也有著類似的想法。玻爾對這些工作無疑都是瞭解的。

一個大膽的想法在玻爾的腦中浮現出來：原子內部只能釋放特定量的能量，說明電子只能在特定的「勢能位置」之間轉換。也就是說，電子只能按照某些「確定的」軌道運行，這些軌道，必須符合一定的勢能條件，從而使得電子在這些軌道間躍遷時，只能釋放出符合巴耳末公式的能量來。

我們可以這樣來打比方。如果你在中學裡好好地聽講過物理課，你應該知道勢能的轉化。一個體重100公斤的人從1米高的臺階上跳下來，他/她會獲得1000焦耳的能量，當然，這些能量會轉化為落下時的動能。但如果情況是這樣的，我們通過某種方法得知，一個體重100公斤的人跳下了若干級高度相同的臺階後，總共釋放出了1000焦耳的能量，那麼我們關於每一級臺階的高度可以說些什麼呢？

明顯而直接的計算就是，這個人總共下落了1米，這就為我們臺階的高度加上了一個嚴格的限制。如果在平時，我們會承認，一個臺階可以有任意的高度，完全看建造者的興趣而已。但如果加上了我們的這個條件，每一級臺階的高度就不再是任意的了。我們可以假設，總共只有一級臺階，那麼它的高度就是1米。或者這個人總共跳了兩級臺階，那麼每級臺階的高度是0.5米。如果跳了3次，那麼每級就是1/3米。如果你是間諜片的愛好者，那麼大概你會推測每級臺階高1/39米。但是無論如何，我們不可能得到這樣的結論，即每級臺階高0.6米。道理是明顯的：高0.6米的臺階不符合我們的觀測(總共釋放了1000焦耳能量)。如果只有一級這樣的臺階，那麼它帶來的能量就不夠，如果有兩級，那麼總高度就達到了1.2米，導致釋放的能量超過了觀測值。如果要符合我們的觀測，那麼必須假定總共有一又三分之二級臺階，而這無疑是荒謬的，因為小孩子都知道，臺階只能有整數級。

在這裡，臺階數「必須」是整數，就是我們的量子化條件。這個條件就限制了每級臺階的高度只能是1米，或者1/2米，而不能是這其間的任何一個數字。

原子和電子的故事在道理上基本和這個差不多。我們還記得，在盧瑟福模型裡，電子像行星一樣繞著原子核打轉。當電子離核最近的時候，它的能量最低，可以看成是在「平地」上的狀態。但是，一旦電子獲得了特定的能量，它就獲得了動力，向上「攀登」一個或幾個臺階，到達一個新的軌道。當然，如果沒有了能量的補充，它又將從那個高處的軌道上掉落下來，一直回到「平地」狀態為止，同時把當初的能量再次以輻射的形式釋放出來。

關鍵是，我們現在知道，在這一過程中，電子只能釋放或吸收特定的能量(由光譜的巴爾末公式給出)，而不是連續不斷的。玻爾做出了合理的推斷：這說明電子所攀登的「臺階」，它們必須符合一定的高度條件，而不能像經典理論所假設的那樣，是連續而任意的。連續性被破壞，量子化條件必須成為原子理論的主宰。

我們不得不再一次用到量子公式E =hν，還請各位多多包涵。史蒂芬‧霍金在他那暢銷書”時間簡史”的Acknowledgements裡面說，插入任何一個數學公式都會使作品的銷量減半，所以他考慮再三，只用了一個公式E =mc2。我們的史話本是戲作，也不考慮那麼多，但就算列出公式，也不強求各位看客理解其數學意義。唯有這個E =hν，筆者覺得還是有必要清楚它的含義，這對於整部史話的理解也是有好處的，從科學意義上來說，它也決不亞於愛因斯坦的那個E =mc2。所以還是不厭其煩地重複一下這個方程的描述：E代表能量，h是普朗克常數，ν是頻率。

回到正題，玻爾現在清楚了，氫原子的光譜線代表了電子從一個特定的臺階跳躍到另外一個臺階所釋放的能量。因為觀測到的光譜線是量子化的，所以電子的「臺階」(或者軌道)必定也是量子化的，它不能連續而取任意值，而必須分成「底樓」，「一樓」，「二樓」等，在兩層「樓」之間，是電子的禁區，它不可能出現在那裡。正如一個人不能懸在兩級臺階之間漂浮一樣。如果現在電子在「三樓」，它的能量用W3表示，那麼當這個電子突發奇想，決定跳到「一樓」(能量W1)的期間，它便釋放出了W3-W1的能量。我們要求大家記住的那個公式再一次發揮作用，W3-W1=hν。所以這一舉動的直接結果就是，一條頻率為ν的譜線出現在該原子的光譜上。

玻爾所有的這些思想，轉化成理論推導和數學表達，並以三篇論文的形式最終發表。這三篇論文(或者也可以說，一篇大論文的三個部分)，分別題名為”論原子和分子的構造”(On the Constitution of Atoms and Molecules)，”單原子核體系”(Systems Containing Only a Single Nucleus)和”多原子核體系”(Systems Containing Several Nuclei)，於1913年3月到9月陸續寄給了遠在曼徹斯特的盧瑟福，並由後者推薦發表在”哲學雜誌”(Philosophical Magazine)上。這就是在量子物理歷史上劃時代的文獻，亦即偉大的「三部曲」。

這確確實實是一個新時代的到來。如果把量子力學的發展史分為三部分，1900年的普朗克宣告了量子的誕生，那麼1913年的玻爾則宣告了它進入了青年時代。一個完整的關於量子的理論體系第一次被建造起來，雖然我們將會看到，這個體系還留有濃重的舊世界的痕跡，但它的意義卻是無論如何不能低估的。量子第一次使全世界震驚於它的力量，雖然它的意識還有一半仍在沉睡中，雖然它自己仍然置身於舊的物理大廈之內，但它的怒吼已經無疑地使整個舊世界搖搖欲墜，並動搖了延綿幾百年的經典物理根基。神話中的巨人已經開始蘇醒，那些藏在古老城堡裡的貴族們，顫抖吧！

上帝擲骰子嗎-量子物理史話(曹天元)

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