玻姆的隱變數理論是德布羅意導波的一個增強版,只不過他把所謂的「導波」換成了「量子勢」(quantum potential)的概念。在他的描述中,電子或者光子始終是一個實實在在的粒子,不論我們是否觀察它,它都具有確定的位置和動量。但是,一個電子除了具有通常的一些性質,比如電磁勢之外,還具有所謂的「量子勢」。這其實就是一種類似波動的東西,它按照薛定諤方程發展,在電子的周圍擴散開去。但是,量子勢所產生的效應和它的強度無關,而只和它的形狀有關,這使它可以一直延伸到宇宙的盡頭,而不發生衰減。

 

在玻姆理論裡,我們必須把電子想像成這樣一種東西:它本質上是一個經典的粒子,但以它為中心發散出一種勢場,這種勢彌漫在整個宇宙中,使它每時每刻都對周圍的環境瞭若指掌。當一個電子向一個雙縫進發時,它的量子勢會在它到達之前便感應到雙縫的存在,從而指導它按照標準的干涉模式行動。如果我們試圖關閉一條狹縫,無處不在的量子勢便會感應到這一變化,從而引導電子改變它的行為模式。特別地,如果你試圖去測量一個電子的具體位置的話,你的測量儀器將首先與它的量子勢發生作用,這將使電子本身發生微妙的變化,這種變化是不可預測的,因為主宰它們的是一些「隱變數」,你無法直接探測到它們。

 

玻姆用的數學手法十分高超,他的體系的確基本做到了傳統的量子力學所能做到的一切!但是,讓我們感到不舒服的是,這樣一個隱變數理論始終似乎顯得有些多餘。量子力學從世紀初一路走來,諸位物理大師為它打造了金光閃閃的基本數學形式。它是如此漂亮而簡潔,在實際中又是如此管用,以致於我們覺得除非絕對必要,似乎沒有理由給它強迫加上笨重而醜陋的附加假設。玻姆的隱函數理論複雜繁瑣又難以服眾,他假設一個電子具有確定的軌跡,卻又規定因為隱變數的擾動關係,我們絕對觀察不到這樣的軌跡!這無疑違反了奧卡姆剃刀原則:存在卻絕對觀測不到,這和不存在又有何分別呢?難道,我們為了這個世界的實在性,就非要放棄物理原理的優美、明晰和簡潔嗎?這連愛因斯坦本人都會反對,他對科學美有著比任何人都要深的嚮往和眷戀。事實上,愛因斯坦,甚至德布羅意生前都沒有對玻姆的理論表示過積極的認同。

 

更不可原諒的是,玻姆在不惜一切代價地地恢復了世界的實在性和決定性之後,卻放棄了另一樣同等重要的東西:定域性(Locality)。定域性指的是,在某段時間裡,所有的因果關係都必須維持在一個特定的區域內,而不能超越時空來瞬間地作用和傳播。簡單來說,就是指不能有超距作用的因果關係,任何資訊都必須以光速這個上限而發送,這也就是相對論的精神!但是在玻姆那裡,他的量子勢可以瞬間把它的觸角伸到宇宙的盡頭,一旦在某地發生什麼,其資訊立刻便傳達到每一個電子耳邊。如果玻姆的理論成立的話,超光速的通訊在宇宙中簡直就是無處不在,愛因斯坦不會容忍這一切的!

 

但是,玻姆他的確打破了因為馮諾伊曼的錯誤而造成的堅冰,至少給隱變數從荊棘中艱難地開闢出了一條道路。不管怎麼樣,隱變數理論在原則上畢竟是可能的,那麼,我們是不是至少還保有一線希望,可以發展出一個完美的隱變數理論,使得我們在將來的某一天得以同時擁有一個確定、實在,而又擁有定域性的溫暖世界呢?這樣一個世界,不就是愛因斯坦的終極夢想嗎?

 

1928年7月28日,距離量子論最精采的華章--不確定性原理的譜寫已經過去一年有餘。在這一天,約翰‧斯圖爾特‧貝爾(John Stewart Bell)出生在北愛爾蘭的首府貝爾法斯特。小貝爾在孩提時代就表現出了過人的聰明才智,他在11歲上向母親立志,要成為一名科學家。16歲時貝爾因為尚不夠年齡入讀大學,先到貝爾法斯特女王大學的實驗室當了一年的實習工,然而他的才華已經深深感染了那裡的教授和員工。一年後他順理成章地進入女王大學攻讀物理,雖然主修的是實驗物理,但他同時也對理論物理表現出非凡的興趣。特別是方興未艾的量子論,它展現出的深刻的哲學內涵令貝爾相當沉迷。

 

貝爾在大學的時候,量子論大廈主體部分的建設已經塵埃落定,基本的理論框架已經由海森堡和薛定諤所打造完畢,而玻爾已經為它作出了哲學上最意味深長的詮釋。20世紀物理史上最激動人心的那些年代已經逝去,沒能參予其間當然是一件遺憾的事,但也許正是因為這樣,人們得以稍稍冷靜下來,不致於為了那偉大的事業而過於熱血沸騰,身不由己地便拜倒在尼爾斯‧玻爾那幾乎不可抗拒的個人魔力之下。貝爾不無吃驚地發現,自己並不同意老師和教科書上對於量子論的正統解釋。海森堡的不確定性原理--它聽上去是如此具有主觀的味道,實在不討人喜歡。貝爾想要的是一個確定的,客觀的物理理論,他把自己描述為一個愛因斯坦的忠實追隨者。

 

畢業以後,貝爾先是進入英國原子能研究所(AERE)工作,後來轉去了歐洲粒子中心(CERN)。他的主要工作集中在加速器和粒子物理領域方面,但他仍然保持著對量子物理的濃厚興趣,在業餘時間裡密切關注著它的發展。1952年玻姆理論問世,這使貝爾感到相當興奮。他為隱變數理論的想法所著迷,認為它恢復了實在論和決定論,無疑邁出了通向那個終極夢想的第一步。這個終極夢想,也就是我們一直提到的,使世界重新回到客觀獨立,優雅確定,嚴格遵守因果關係的軌道上來。貝爾覺得,隱變數理論正是愛因斯坦所要求的東西,可以完成對量子力學的完備化。然而這或許是貝爾的一廂情願,因為極為諷刺的是,甚至愛因斯坦本人都不認同玻姆!

 

不管怎麼樣,貝爾準備仔細地考察一下,對於德布羅意和玻姆的想法是否能夠有實際的反駁,也就是說,是否真如他們所宣稱的那樣,對於所有的量子現象我們都可以拋棄不確定性,而改用某種實在論來描述。1963年,貝爾在日內瓦遇到了約克教授,兩人對此進行了深入的討論,貝爾逐漸形成了他的想法。假如我們的宇宙真的是如愛因斯坦所夢想的那樣,它應當具有怎樣的性質呢?要探討這一點,我們必須重拾起愛因斯坦昔日與玻爾論戰時所提到的一個思想實驗--EPR佯謬。

 

要是你已經忘記了EPR是個什麼東西,可以先複習一下我們史話的8-4。我們所描述的實際上是經過玻姆簡化過的EPR版本,不過它們在本質上是一樣的。現在讓我們重做EPR實驗:一個母粒子分裂成向相反方向飛開去的兩個小粒子A和B,它們理論上具有相反的自旋方向,但在沒有觀察之前,照量子派的講法,它們的自旋是處在不確定的疊加態中的,而愛因斯坦則堅持,從分離的那一刻起,A和B的狀態就都是確定了的。

 

我們用一個向量來表示自旋方向,現在甲乙兩人站在遙遠的天際兩端等候著A和B的分別到來(比方說,甲在人馬座的方向,乙在雙子座的方向)。在某個按照宇宙標準時間所約好了的關鍵時刻(比方說,宇宙曆767年8月12日9點整,聽起來怎麼像銀英傳,呵呵),兩人同時對A和B的自旋在同一個方向上作出測量。那麼,正如我們已經討論過的,因為要保持總體上的守恆,這兩個自旋必定相反,不論在哪個方向上都是如此。假如甲在某方向上測量到A的自旋為正(+),那麼同時乙在這個方向上得到的B自旋的測量結果必定為負(-)!

 

換句話說,A和B--不論它們相隔多麼遙遠--看起來似乎總是如同約好了那樣,當A是+的時候B必定是-,它們的合作率是100%!在統計學上,拿稍微正式一點的術語來說,(A+,B-)的相關性(correlation)是100%,也就是1。我們需要熟悉一下相關性這個概念,它是表示合作程度的一個變數,假如A和B每次都合作,比如A是+時B總是-,那麼相關性就達到最大值1,反過來,假如B每次都不和A合作,每當A是+是B偏偏也非要是+,那麼(A+,B-)的相關率就達到最小值-1。當然這時候從另一個角度看,(A+,B+)的相關就是1了。要是B不和A合作也不有意對抗,它的取值和A毫無關係,顯得完全隨機,那麼B就和A並不相關,相關性是0。

 

在EPR裡,不管兩個粒子的狀態在觀測前究竟確不確定,最後的結果是肯定的:在同一個方向上要麼是(A+,B-),要麼是(A-,B+),相關性是1。但是,這是在同一方向上,假設在不同方向上呢?假設甲沿著x軸方向測量A的自旋,乙沿著y軸方向測量B,其結果的相關率會是如何呢?冥冥中一絲第六感告訴我們,決定命運的時刻就要到來了。

 

實際上我們生活在一個3維空間,可以在3個方向上進行觀測,我們把這3個方向假設為x,y,z。它們並不一定需要互相垂直,任意地取便是。每個粒子的自旋在一個特定的方向無非是正負兩種可能,那麼在3個方向上無非總共是8種可能(把每個方向想像成一根爻,那麼組合結果無非是8個卦)。

 

x y z

 

+++

 

++-

 

+-+

 

+--

 

-++

 

-+-

 

--+

 

---

 

對於A來說有8種可能,那麼對於A和B總體來說呢?顯然也是8種可能,因為我們一旦觀測了A,B也就確定了。如果A是(+,+,-),那麼因為要守恆,B一定是(-,-,+)。現在讓我們假設量子論是錯誤的,A和B的觀測結果在分離時便一早註定,我們無法預測,只不過是不清楚其中的隱變數究竟是多少的緣故。不過沒關係,我們假設這個隱變數是H,它可以取值1-8,分別對應於一種觀測的可能性。再讓我們假設,對應於每一種可能性,其出現的概率分別是N1,N2...一直到N8。現在我們就有了一個可能的觀測結果的總表:

 

Ax Ay Az Bx By Bz 出現概率

 

+++---N1

 

++---+N2

 

+-+-+-N3

 

+---++N4

 

-+++--N5

 

-+-+-+N6

 

--+++-N7

 

---+++N8

 

上面的每一行都表示一種可能出現的結果,比如第一行就表示甲觀察到A在x,y,z三個方向上的自旋都為+,而乙觀察到B在3個方向上的自旋相應地均為-,這種結果出現的可能性是N1。因為觀測結果8者必居其一,所以N1+N2+|+N8=1,這個各位都可以理解吧?

 

現在讓我們運用一點小學數學的水準,來做一做相關性的練習。我們暫時只察看x方向,在這個方向上,(Ax+,Bx-)的相關性是多少呢?我們需要這樣做:當一個記錄符合兩種情況之一:當在x方向上A為+而B同時為-,或者A不為+而B也同時不為-,如果這樣,它便符合我們的要求,標誌著對(Ax+,Bx-)的合作態度,於是我們就加上相應的概率。相反,如果在x上A為+而B也同時為+,或者A為-而B也為-,這是對(Ax+,Bx-)組合的一種破壞和抵觸,我們必須減去相應的概率。

 

從上表可以看出,前4種可能都是Ax為+而Bx同時為-,後4種可能都是Ax不為+而Bx也不為-,所以8行都符合我們的條件,全是正號。我們的結果是N1+N2+|+N8=1!所以(Ax+,Bx-)的相關是1,這毫不奇怪,我們的表本來就是以此為前提編出來的。如果我們要計算(Ax+,Bx+)的相關,那麼8行就全不符合條件,全是負號,我們的結果是-N1-N2-|-N8=-1。

 

接下來我們要走得遠一點,A在x方向上為+,而B在y方向上為+,這兩個觀測結果的相關性是多少呢?現在是兩個不同的方向,不過計算原則是一樣的:要是一個記錄符合Ax為+以及By為+,或者Ax不為+以及By也不為+時,我們就加上相應的概率,反之就減去。讓我們仔細地考察上表,最後得到的結果應該是這樣的,用Pxy來表示:

 

Pxy=-N1-N2+N3+N4+N5+N6-N7-N8

 

嗯,蠻容易的嘛,我們再來算算Pxz,也就是Ax為+同時Bz為+的相關:

 

Pxz=-N1+N2-N3+N4+N5-N6+N7-N8

 

再來,這次是Pzy,也就是Az為+且By為+:

 

Pzy=-N1+N2+N3-N4-N5+N6+N7-N8

 

好了,差不多了,現在我們把玩一下我們的計算結果,把Pxz減去Pzy再取絕對值:

 

|Pxz-Pzy|=|-2N3+2N4+2N5-2N6|=2|N3+N4-N5-N6|

 

這裡需要各位努力一下,超越小學數學的水準,回憶一下初中的知識。關於絕對值,我們有關係式|x-y|<|x|+|y|,所以套用到上面的式子裡,我們有:

 

|Pxz-Pzy|=2|N3+N4-N5-N6|<2(|N3+N4|+|N5+N6|)

 

因為所有的概率都不為負數,所以2(|N3+N4|+|N5+N6|)=2(N3+N4+N5+N6)。最後,我們還記得N1+N2+...+N8=1,所以我們可以從上式中湊一個1出來:

 

2(N3+N4+N5+N6)=1+(-N1-N2+N3+N4+N5+N6-N7-N8)

 

看看我們前面的計算,後面括弧裡的一大串不正是Pxy嗎?所以我們得到最終的結果:

 

|Pxz-Pzy|<1+Pxy

 

恭喜你,你已經證明了這個宇宙中最為神秘和深刻的定理之一。現在放在你眼前的,就是名垂千古的「貝爾不等式」。它被人稱為「科學中最深刻的發現」,它即將對我們這個宇宙的終極命運作出最後的判決。

 

(我們的證明當然是簡化了的,隱變數不一定是離散的,而可以定義為區間λ上的一個連續函數。即使如此,只要稍懂一點積分知識也不難推出貝爾不等式來,各位有興趣的可以動手一試。)

 

 

上帝擲骰子嗎-量子物理史話(曹天元)

 

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